Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038736

В формуле спрятана стандартная конструкция: для любых чисел $a$ и $b$ верно $\dfrac{1}{2}(|a-b|+a+b)=\max(a;b)$. Проверим: при $a\geq b$ модуль раскрывается как $a-b$, и выражение равно $\dfrac{(a-b)+a+b}{2}=a$; при $a\lt b$ модуль равен $b-a$, и получается $b$. То есть формула всегда возвращает большее из двух чисел.

Здесь $a=\dfrac{x}{1,5}$, $b=\dfrac{1,5}{x}$, поэтому $y=\max\left(\dfrac{x}{1,5};\dfrac{1,5}{x}\right)$ при $x\neq 0$. Значит чертим прямую $y=\dfrac{x}{1,5}$ и гиперболу $y=\dfrac{1,5}{x}$ и оставляем ту линию, которая выше.

Точки переключения. Решаем $\dfrac{x}{1,5}=\dfrac{1,5}{x}$: получаем $x^{2}=2,25$, откуда $x=1,5$ или $x=-1,5$. Ординаты: при $x=1,5$ будет $y=1$, при $x=-1,5$ будет $y=-1$.

Кто выше на каждом промежутке (берём пробные точки):

• $x\lt -1,5$ (проба $x=-3$): $\dfrac{-3}{1,5}=-2$ против $\dfrac{1,5}{-3}=-0,5$ — выше гипербола;
• $-1,5\leq x\lt 0$ (проба $x=-0,5$): $\approx -0,33$ против $-3$ — выше прямая;
• $0\lt x\leq 1,5$ (проба $x=0,5$): $\approx 0,33$ против $3$ — выше гипербола;
• $x\gt 1,5$ (проба $x=3$): $2$ против $0,5$ — выше прямая.

Какие значения принимает график. Правая часть: ветвь гиперболы при $0\lt x\leq 1,5$ спускается с бесконечности до $1$, кусок прямой при $x\geq 1,5$ поднимается от $1$ вверх. Значит каждое $m\gt 1$ встречается ДВА раза, а $m=1$ — ровно один раз: это уголок $(1,5;1)$, самая низкая точка правой части.

Левая часть зеркальна: и ветвь гиперболы при $x\leq -1,5$, и кусок прямой при $-1,5\leq x\lt 0$ дают значения от $-1$ до нуля, нуля не достигая. Значит каждое $m$ из промежутка $-1\lt m\lt 0$ встречается два раза, а $m=-1$ — один раз (уголок $(-1,5;-1)$).

Значения $0\leq m\lt 1$ и $m\lt -1$ график не принимает вообще. Итог: ровно одна общая точка бывает при $m=-1$ и при $m=1$.