Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038742

Разберёмся со странной на вид формулой. Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо тождество $\dfrac{1}{2}(|a-b|+a+b)=\max(a;b)$. Проверка: при $a\geq b$ имеем $|a-b|=a-b$, и всё выражение равно $\dfrac{(a-b)+a+b}{2}=a$; при $a\lt b$ имеем $|a-b|=b-a$, и получается $b$. То есть конструкция всегда выдаёт большее из двух чисел.

У нас $a=\dfrac{x}{5,5}$, $b=\dfrac{5,5}{x}$, значит $y=\max\left(\dfrac{x}{5,5};\dfrac{5,5}{x}\right)$ при $x\neq 0$. Чертим в одних осях прямую $y=\dfrac{x}{5,5}$ и гиперболу $y=\dfrac{5,5}{x}$ и оставляем ту, что выше.

Точки переключения. Решаем $\dfrac{x}{5,5}=\dfrac{5,5}{x}$: получаем $x^{2}=30,25$, откуда $x=5,5$ или $x=-5,5$. Ординаты: при $x=5,5$ выходит $y=1$, при $x=-5,5$ выходит $y=-1$.

Кто выше на каждом промежутке (проверяем пробными точками):

• $x\lt -5,5$ (проба $x=-11$): $\dfrac{-11}{5,5}=-2$ против $\dfrac{5,5}{-11}=-0,5$ — выше гипербола;
• $-5,5\leq x\lt 0$ (проба $x=-1$): $\approx -0,18$ против $-5,5$ — выше прямая;
• $0\lt x\leq 5,5$ (проба $x=1$): $\approx 0,18$ против $5,5$ — выше гипербола;
• $x\gt 5,5$ (проба $x=11$): $2$ против $0,5$ — выше прямая.

Какие значения принимает график. Правая часть: ветвь гиперболы при $0\lt x\leq 5,5$ спускается с бесконечности до $1$, кусок прямой при $x\geq 5,5$ поднимается от $1$ вверх. Значит каждое $m\gt 1$ достигается ДВА раза, а $m=1$ — ровно один раз: это уголок $(5,5;1)$, самая низкая точка правой части.

Левая часть зеркальна: и ветвь гиперболы при $x\leq -5,5$, и кусок прямой при $-5,5\leq x\lt 0$ дают значения от $-1$ до нуля, нуля не достигая. Поэтому каждое $m$ из промежутка $-1\lt m\lt 0$ встречается два раза, а $m=-1$ — один раз (уголок $(-5,5;-1)$).

Значения $0\leq m\lt 1$ и $m\lt -1$ график не принимает вовсе. Итог: ровно одна общая точка бывает при $m=-1$ и при $m=1$.