Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038753

Шаг 1. Упрощаем формулу. В числителе вынесем общий множитель: $0,75x^{2}-0,75x=0,75x(x-1)$. Тогда $$y=\dfrac{0,75x(x-1)\cdot | x |}{x-1}.$$ Дробь имеет смысл при $x-1\neq 0$, то есть $x\neq 1$. При этом условии множитель $x-1$ сокращается и остаётся $$y=0,75x| x |,\qquad x\neq 1.$$

Шаг 2. Раскрываем модуль. При $x\geq 0$ имеем $| x |=x$, поэтому $y=0,75x^{2}$ — правая половина параболы с ветвями вверх и вершиной в начале координат. При $x<0$ имеем $| x |=-x$, поэтому $y=-0,75x^{2}$ — левая половина параболы с ветвями вниз, тоже с вершиной в начале координат. Куски стыкуются в точке $(0;0)$, разрыва нет.

Шаг 3. Смотрим на выколотую точку. Значение $x=1$ из области определения выброшено. Если бы его подставили, получили бы $y=0,75\cdot 1\cdot 1=0,75$. Значит на графике «дырка» в точке $(1;0,75)$.

Шаг 4. Пересекаем с прямой $y=m$. Получившийся график всё время идёт вверх: на левой половине значения растут от $-\infty$ до $0$, на правой — от $0$ до $+\infty$. Поэтому каждое значение $y$ функция принимает ровно при одном $x$: любая горизонталь $y=m$ пересекала бы график ровно один раз. Единственное исключение — та высота, на которой лежит выколотая точка: при $m=0,75$ единственный подходящий $x$ равен $1$, а этой точки на графике нет.

Значит, ни одной общей точки прямая $y=m$ с графиком не имеет только при $m=0,75$.