Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038746

Сначала построим параболу без модуля: $y=x^{2}-x-2$. Найдём её нули: $x^{2}-x-2=0$, дискриминант $D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$, корни $x=\dfrac{1\pm 3}{2}$, то есть $x=2$ и $x=-1$. В разложенном виде: $x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)$.

Ветви направлены вверх, вершина стоит посередине между нулями: $x_0=\dfrac{2+(-1)}{2}=0,5$, а $y_0=0,5^{2}-0,5-2=0,25-0,5-2=-2,25$. Значит вершина исходной параболы — точка $(0,5;-2,25)$, она лежит ниже оси $Ox$.

Что делает модуль. Правило простое: часть графика, лежащая ниже оси $Ox$, отражается вверх, как в зеркале, а остальное остаётся на месте. Наша функция отрицательна ровно между корнями, то есть при $-1\lt x\lt 2$. Значит этот кусок отражаем вверх: он превращается в «горб» с вершиной $(0,5;2,25)$, упирающийся концами в точки $(-1;0)$ и $(2;0)$. Внешние части — две ветви, уходящие вверх, — не меняются.

Получается «W-образная» линия: два нуля на оси $Ox$, между ними горб высотой $2,25$, по краям ветви уходят вверх без ограничений.

Считаем. Прямая, параллельная оси абсцисс, — это горизонтальная прямая $y=m$. Перебираем уровни:

• $m\lt 0$: общих точек нет, весь график лежит не ниже оси $Ox$;
• $m=0$: две точки — $(-1;0)$ и $(2;0)$;
• $0\lt m\lt 2,25$: четыре точки — по одной на каждой внешней ветви и две на горбе;
• $m=2,25$: три точки — вершина горба и по одной на внешних ветвях;
• $m\gt 2,25$: две точки, только на внешних ветвях.

Наибольшее из этих чисел — четыре.