Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038745

Упростим выражение. В числителе выносим общий множитель: $0,25x^{2}+0,5x=0,25x(x+2)$. Тогда $$y=\dfrac{0,25x(x+2)\cdot |x|}{x+2}=0,25x|x|.$$ Сокращать на $(x+2)$ можно только при $x+2\neq 0$, поэтому область определения: $x\neq -2$. Значение $x=0$ разрешено — знаменатель там равен $2$.

Что за график $y=0,25x|x|$. Раскрываем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0,25x^{2}$ — правая половина параболы, растущая из начала координат вверх;
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0,25x^{2}$ — левая половина перевёрнутой параболы, уходящая из начала координат вниз.

Половинки стыкуются в точке $(0;0)$ и дают одну плавную линию. Ключевое свойство: функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое значение $y$ она принимает РОВНО ОДИН раз и ни одного числа не пропускает.

Выколотая точка. Значение $x=-2$ выброшено. Подставим его в упрощённую формулу: $y=0,25\cdot(-2)\cdot|-2|=0,25\cdot(-2)\cdot 2=-1$. Значит на графике выколота точка $(-2;-1)$.

Раз любой уровень $y=m$ достигался бы ровно один раз, единственный способ остаться без общих точек — чтобы этот единственный «кандидат» оказался выколотым. Это происходит при $m=-1$.