Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038740

Упростим выражение. В числителе выносим $x$: $x^{2}+3x=x(x+3)$. Тогда $$y=\dfrac{x(x+3)\cdot |x|}{x+3}=x|x|.$$ Сокращать на $(x+3)$ можно только при $x+3\neq 0$, поэтому область определения: $x\neq -3$. Значение $x=0$ разрешено: знаменатель там равен $3$, а не нулю.

Разбираем график $y=x|x|$. Раскрываем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=x^{2}$ — правая половина обычной параболы, идущая из начала координат вверх;
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-x^{2}$ — левая половина перевёрнутой параболы, идущая из начала координат вниз.

Половинки стыкуются в точке $(0;0)$ и вместе дают одну плавную возрастающую линию. Ключевое свойство: функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое значение $y$ она принимает РОВНО ОДИН раз и ни одного числа не пропускает.

Выколотая точка. Точка $x=-3$ выброшена. Подставим её в упрощённую формулу: $y=(-3)\cdot|-3|=(-3)\cdot 3=-9$. Значит на графике выколота точка $(-3;-9)$.

Поскольку любой уровень $y=m$ достигался бы ровно один раз, общих точек не будет только тогда, когда этот единственный «кандидат» выколот. Это происходит при $m=-9$.