Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038739

Упростим выражение. В числителе выносим общий множитель: $0,75x^{2}+2,25x=0,75x(x+3)$. Тогда $$y=\dfrac{0,75x(x+3)\cdot |x|}{x+3}=0,75x|x|.$$ Сокращать на $(x+3)$ можно только при $x+3\neq 0$, поэтому область определения: $x\neq -3$. А вот $x=0$ разрешено — знаменатель там равен $3$.

Что за график $y=0,75x|x|$. Раскрываем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0,75x^{2}$ — правая половина параболы, идущая из начала координат вверх;
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0,75x^{2}$ — левая половина перевёрнутой параболы, идущая из начала координат вниз.

Обе половинки стыкуются в точке $(0;0)$ и вместе образуют одну плавную линию. Главное её свойство: функция строго возрастает на всей числовой прямой, значит каждое значение $y$ достигается РОВНО ОДИН раз, и ни одно число не пропускается.

Выколотая точка. Значение $x=-3$ выброшено. Подставим его в упрощённую формулу: $y=0,75\cdot(-3)\cdot|-3|=0,75\cdot(-3)\cdot 3=-6,75$. Значит на графике выколота точка $(-3;-6,75)$.

Раз каждый уровень $y=m$ достигался бы ровно один раз, единственный способ не иметь общих точек — чтобы этот единственный «кандидат» был выколот. Это происходит при $m=-6,75$.