Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038732

Упростим формулу. В знаменателе выносим $x$: $4x^{2}-5x=x(4x-5)$, поэтому $$y=\dfrac{4x-5}{x(4x-5)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращать можно только там, где исходная дробь определена, а знаменатель $x(4x-5)$ равен нулю при $x=0$ и при $4x-5=0$, то есть при $x=1,25$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq 1,25$.

График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой: при $x=1,25$ формула дала бы $y=\dfrac{1}{1,25}=0,8$, значит точка $(1,25;0,8)$ на графике отсутствует.

Прямые $y=kx$. Все они проходят через начало координат. Ищем пересечения: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k=0$ равенство $0=1$ невозможно; при $k<0$ правая часть отрицательна, а квадрат — нет. Значит при $k\leq 0$ общих точек нет вовсе. При $k>0$ корней ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, по одному на каждой ветви гиперболы.

Одна общая точка получится, только если один из этих двух корней окажется выколотым. Подставим координаты дырки в уравнение прямой: $$0,8=k\cdot 1,25\ \Rightarrow\ k=\dfrac{0,8}{1,25}=0,64.$$

Проверка: при $k=0,64$ имеем $x^{2}=\dfrac{1}{0,64}=1,5625$, откуда $x=1,25$ (эта точка выколота) и $x=-1,25$. Остаётся ровно одна общая точка $(-1,25;-0,8)$.