Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038731

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=-2$.

Правый кусок, $x\geq -2$: $y=x^{2}+2x+1$. Это полный квадрат: $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$. Парабола ветвями вверх с вершиной $(-1;0)$, и вершина попадает в область $x\geq -2$. Начало куска: при $x=-2$ получаем $y=(-2+1)^{2}=1$, точка $(-2;1)$ закрашена. Кусок спускается от $(-2;1)$ к вершине $(-1;0)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -2$: прямая $y=x+6$. Возрастает. При $x=-2$ формула дала бы $y=-2+6=4$, но эта точка куску не принадлежит: $(-2;4)$ выколота. При $x\lt -2$ получаем $y\lt 4$: луч даёт все значения строго меньше $4$, каждое ровно один раз.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $(x+1)^{2}=m$: при $m\lt 0$ корней нет, при $m\geq 0$ получаем $x=-1\pm\sqrt{m}$. Условию $x\geq -2$ меньший корень $-1-\sqrt{m}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{m}\leq 1$, то есть при $m\leq 1$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$ (вершина), две при $0\lt m\leq 1$, одну при $m\gt 1$.

• $m\lt 0$: $0+1=1$ точка;
• $m=0$: $1+1=2$ точки;
• $0\lt m\leq 1$: $2+1=3$ точки;
• $1\lt m\lt 4$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 4$: $1+0=1$ точка (на уровне $4$ точка луча выколота).

Ровно две общие точки: при $m=0$ и при $1\lt m\lt 4$.