Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038729

График — ломаная из трёх кусков с границами $x=1$ и $x=3$. Все куски линейные, поэтому достаточно посчитать значения на концах.

Кусок 1, $x\lt 1$: $y=2,5x-3,5$. Возрастает. При $x=1$ формула дала бы $y=2,5-3,5=-1$, но $x=1$ сюда не входит: точка $(1;-1)$ выколота. Влево луч уходит вниз, значит покрывает все значения $y\lt -1$, каждое ровно один раз.

Кусок 2, $1\leq x\leq 3$: $y=-2,5x+4$. Отрезок, убывает. При $x=1$: $y=-2,5+4=1,5$, точка $(1;1,5)$ закрашена. При $x=3$: $y=-7,5+4=-3,5$, точка $(3;-3,5)$ закрашена. Отрезок даёт все значения от $-3,5$ до $1,5$ включительно.

Кусок 3, $x\gt 3$: $y=1,5x-8$. Возрастает. При $x=3$ было бы $y=4,5-8=-3,5$, но эта точка куску не принадлежит: $(3;-3,5)$ выколота. Вправо луч уходит вверх и даёт все значения $y\gt -3,5$.

Итак, в точке $x=1$ график разрывается (луч подходит к высоте $-1$, а отрезок начинается с высоты $1,5$), а в точке $x=3$ разрыва по высоте нет: отрезок заканчивается закрашенной точкой $(3;-3,5)$, из которой и выходит третий луч, но уже без неё.

Складываем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\lt -3,5$: $1+0+0=1$ точка;
• $m=-3,5$: первый луч даёт точку (ведь $-3,5\lt -1$), отрезок даёт $(3;-3,5)$, третий луч — ничего: $1+1+0=2$ точки;
• $-3,5\lt m\lt -1$: $1+1+1=3$ точки;
• $-1\leq m\leq 1,5$: первый луч уже не работает (при $m=-1$ его точка выколота), остаются отрезок и третий луч: $0+1+1=2$ точки;
• $m\gt 1,5$: $0+0+1=1$ точка.

Ровно две общие точки: при $m=-3,5$ и при всех $m$ от $-1$ до $1,5$ включительно.