Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038728

Выражение под модулем обращается в ноль при $x=4$, значит эта точка делит ось на две части, и на каждой формула своя.

Сначала разложим квадратную часть: $-x^{2}+9x-20=-(x^{2}-9x+20)=-(x-4)(x-5)$. Скобка $(x-4)$ — та же, что под модулем, и это ключ к решению.

Случай $x\geq 4$. Здесь $|x-4|=x-4$, поэтому $$y=2(x-4)-(x-4)(x-5)=(x-4)\big(2-(x-5)\big)=(x-4)(7-x).$$ Парабола ветвями вниз с нулями $x=4$ и $x=7$; вершина посередине: $x_0=\dfrac{4+7}{2}=5,5$, $y_0=(5,5-4)(7-5,5)=1,5\cdot 1,5=2,25$. Справа график поднимается от точки $(4;0)$ до вершины $(5,5;2,25)$, спускается в $(7;0)$ и дальше уходит вниз.

Случай $x<4$. Здесь $|x-4|=-(x-4)$, поэтому $$y=-2(x-4)-(x-4)(x-5)=-(x-4)\big(2+(x-5)\big)=-(x-4)(x-3).$$ Тоже парабола ветвями вниз, нули $x=4$ и $x=3$, вершина посередине: $x_0=3,5$, $y_0=-(3,5-4)(3,5-3)=-(-0,5)\cdot 0,5=0,25$. Слева график приходит снизу, поднимается до маленького горба $(3,5;0,25)$ и опускается к $(4;0)$.

Итоговая картинка: низкий горб слева высотой $0,25$, высокий горб справа высотой $2,25$, между ними впадина — общая точка $(4;0)$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m>2,25$: точек нет;
• $m=2,25$: одна (вершина правого горба);
• $0,25</li><li>$m=0,25$: три — вершина левого горба и две точки на правом (уравнение$(x-4)(7-x)=0,25$имеет два корня между$4$и$7$);</li><li>$0
• $m=0$: три — впадина $(4;0)$, точка $(3;0)$ слева и точка $(7;0)$ справа;
• $m&lt;0$: две.

Ровно три общие точки бывают при $m=0$ и при $m=0,25$.