Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038727

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=-2$.

Правый кусок, $x\geq -2$: $y=x^{2}-2x+1$. Это полный квадрат: $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$. Парабола ветвями вверх с вершиной $(1;0)$, и вершина лежит в области $x\geq -2$. Начало куска: при $x=-2$ получаем $y=(-2-1)^{2}=9$, точка $(-2;9)$ закрашена. Кусок спускается от $(-2;9)$ к вершине $(1;0)$ и затем неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -2$: $y=-\dfrac{18}{x}$. При отрицательных $x$ эта дробь положительна. При $x=-2$ формула дала бы $y=-\dfrac{18}{-2}=9$, но $x=-2$ этому куску не принадлежит — точка $(-2;9)$ для него выколота. При движении влево значение убывает и стремится к нулю, не достигая его. Значит кусок покрывает промежуток $0\lt y\lt 9$, каждое значение по одному разу.

Обрати внимание: точка $(-2;9)$ на графике есть, но её даёт парабола, а не гипербола, — поэтому «двойного» пересечения на уровне $9$ из двух кусков не получится.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы: $(x-1)^{2}=m$ при $m\geq 0$ даёт $x=1\pm\sqrt{m}$; условию $x\geq -2$ меньший корень $1-\sqrt{m}$ удовлетворяет при $\sqrt{m}\leq 3$, то есть при $m\leq 9$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$, две при $0\lt m\leq 9$, одну при $m\gt 9$.

• $m\lt 0$: $0+0=0$ точек;
• $m=0$: $1+0=1$ точка;
• $0\lt m\lt 9$: $2+1=3$ точки;
• $m=9$: $2+0=2$ точки;
• $m\gt 9$: $1+0=1$ точка.

Одна или две общие точки бывают при $m=0$ и при всех $m\geq 9$.