Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038726

График склеен из двух кусков с границей в точке $x=-3$: справа парабола, слева ветвь гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -3$: $y=x^{2}+4x+4$. Это полный квадрат: $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$. Значит парабола ветвями вверх с вершиной $(-2;0)$, и вершина попадает в область $x\geq -3$. Начало куска: при $x=-3$ получаем $y=(-3+2)^{2}=1$, точка $(-3;1)$ закрашена. Кусок спускается от $(-3;1)$ к вершине $(-2;0)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -3$: $y=-\dfrac{3}{x}$. При отрицательных $x$ дробь $-\dfrac{3}{x}$ положительна. При $x=-3$ формула дала бы $y=1$, но $x=-3$ этому куску не принадлежит: точка $(-3;1)$ для него выколота. Когда $x$ уходит влево к $-\infty$, значение стремится к нулю, оставаясь положительным. Значит этот кусок принимает все значения из промежутка $0\lt y\lt 1$, каждое ровно один раз.

Важная деталь: точку $(-3;1)$ парабола даёт закрашенной, поэтому на графике она ЕСТЬ, а вот кусок гиперболы её не даёт.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы: $(x+2)^{2}=m$ при $m\geq 0$ даёт $x=-2\pm\sqrt{m}$; условию $x\geq -3$ меньший корень $-2-\sqrt{m}$ удовлетворяет при $\sqrt{m}\leq 1$, то есть при $m\leq 1$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$ (вершина), две при $0\lt m\leq 1$, одну при $m\gt 1$.

• $m\lt 0$: $0+0=0$ точек;
• $m=0$: $1+0=1$ точка;
• $0\lt m\lt 1$: $2+1=3$ точки;
• $m=1$: $2+0=2$ точки (гипербола уровень $1$ не даёт — точка выколота);
• $m\gt 1$: $1+0=1$ точка.

Одна или две общие точки получаются при $m=0$ и при всех $m\geq 1$.