Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038725

В формуле спрятана стандартная конструкция: для любых чисел $a$ и $b$ выполняется $\dfrac{1}{2}(|a-b|+a+b)=\max(a;b)$. Убедимся: если $a\geq b$, то $|a-b|=a-b$, и выражение равно $\dfrac{(a-b)+a+b}{2}=a$; если $a\lt b$, то $|a-b|=b-a$, и получается $b$. То есть формула всегда выдаёт большее из двух чисел.

Здесь $a=\dfrac{x}{3,5}$, $b=\dfrac{3,5}{x}$, поэтому $y=\max\left(\dfrac{x}{3,5};\dfrac{3,5}{x}\right)$ при $x\neq 0$. Значит надо в одних осях начертить прямую $y=\dfrac{x}{3,5}$ и гиперболу $y=\dfrac{3,5}{x}$, а оставить ту линию, которая в данном месте выше.

Где линии меняются местами. Решаем $\dfrac{x}{3,5}=\dfrac{3,5}{x}$: получаем $x^{2}=12,25$, откуда $x=3,5$ или $x=-3,5$. Ординаты: при $x=3,5$ будет $y=1$, при $x=-3,5$ будет $y=-1$.

Кто выше на каждом промежутке (проверяем пробными точками):

• $x\lt -3,5$ (проба $x=-7$): $\dfrac{-7}{3,5}=-2$ против $\dfrac{3,5}{-7}=-0,5$ — выше гипербола;
• $-3,5\leq x\lt 0$ (проба $x=-1$): $\approx -0,29$ против $-3,5$ — выше прямая;
• $0\lt x\leq 3,5$ (проба $x=1$): $\approx 0,29$ против $3,5$ — выше гипербола;
• $x\gt 3,5$ (проба $x=7$): $2$ против $0,5$ — выше прямая.

Какие значения принимает график. Правая часть: ветвь гиперболы при $0\lt x\leq 3,5$ спускается с бесконечности до $1$, а кусок прямой при $x\geq 3,5$ поднимается от $1$ вверх. Значит каждое $m\gt 1$ достигается ДВА раза, а $m=1$ — ровно один раз: это «уголок» $(3,5;1)$, самая низкая точка правой части.

Левая часть устроена зеркально: и ветвь гиперболы при $x\leq -3,5$, и кусок прямой при $-3,5\leq x\lt 0$ дают значения от $-1$ до нуля, самого нуля не достигая. Поэтому каждое $m$ из промежутка $-1\lt m\lt 0$ встречается два раза, а $m=-1$ — один раз (уголок $(-3,5;-1)$).

Значения $0\leq m\lt 1$ и $m\lt -1$ график не принимает вовсе. Итог: ровно одна общая точка с прямой $y=m$ бывает только при $m=-1$ и при $m=1$.