Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038724

Сначала строим параболу без модуля: $y=x^{2}+x-2$. Найдём её нули: $x^{2}+x-2=0$, дискриминант $D=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$, корни $x=\dfrac{-1\pm 3}{2}$, то есть $x=1$ и $x=-2$. Разложение: $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$.

Ветви направлены вверх, вершина стоит посередине между нулями: $x_0=\dfrac{1+(-2)}{2}=-0,5$, а $y_0=(-0,5)^{2}+(-0,5)-2=0,25-0,5-2=-2,25$. Значит вершина исходной параболы — точка $(-0,5;-2,25)$, и она лежит НИЖЕ оси $Ox$.

Что делает модуль. Модуль оставляет неотрицательные значения на месте, а отрицательные отражает вверх — как в зеркале относительно оси $Ox$. У нас функция отрицательна ровно между корнями, то есть при $-2\lt x\lt 1$. Значит кусок параболы между $x=-2$ и $x=1$ надо отразить наверх: он превращается в «горб» с вершиной $(-0,5;2,25)$, упирающийся концами в точки $(-2;0)$ и $(1;0)$. Всё, что вне промежутка $[-2;1]$, остаётся на месте — две ветви, уходящие вверх.

Получается характерная «W-образная» линия: два нуля на оси $Ox$, между ними горб высотой $2,25$, а по краям ветви уходят вверх без ограничений.

Теперь считаем. Прямая, параллельная оси абсцисс, — это прямая $y=m$ (горизонтальная). Смотрим, сколько раз она может пересечь нашу линию:

• $m\lt 0$: точек нет, весь график лежит не ниже оси $Ox$;
• $m=0$: две точки — $(-2;0)$ и $(1;0)$;
• $0\lt m\lt 2,25$: четыре точки — по одной на каждой из двух внешних ветвей и две на горбе;
• $m=2,25$: три точки — вершина горба и по одной на внешних ветвях;
• $m\gt 2,25$: две точки, только на внешних ветвях.

Наибольшее из полученных чисел — четыре.