ID: 00038723
Источник: ФИПИ
Упростим формулу. В знаменателе выносим $x$: $2x^{2}+5x=x(2x+5)$, тогда $$y=\dfrac{2x+5}{x(2x+5)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение законно только там, где исходная дробь определена. Знаменатель равен нулю при $x=0$ и при $2x+5=0$, то есть при $x=-2,5$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq -2,5$.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой. Её ордината: $y=\dfrac{1}{-2,5}=-0,4$, то есть выколота точка $(-2,5;-0,4)$ на левой ветви.
Прямые $y=kx$. Они проходят через начало координат. Подставляем в уравнение гиперболы: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k=0$ получаем неверное равенство $0=1$; при $k<0$ правая часть отрицательна, а квадрат отрицательным не бывает — в обоих случаях общих точек нет. При $k>0$ корней ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, и они лежат на разных ветвях.
Итак, ровно одна общая точка возможна только тогда, когда один из двух корней попадает в выколотую точку. Подставим её координаты в $y=kx$: $$-0,4=k\cdot(-2,5)\ \Rightarrow\ k=\dfrac{-0,4}{-2,5}=0,16.$$
Проверка: при $k=0,16$ имеем $x^{2}=\dfrac{1}{0,16}=6,25$, откуда $x=-2,5$ (выколота) и $x=2,5$. Остаётся ровно одна общая точка $(2,5;0,4)$.