Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038722

Упростим выражение. В числителе выносим общий множитель: $0,25x^{2}-x=0,25x(x-4)$. Тогда $$y=\dfrac{0,25x(x-4)\cdot |x|}{x-4}=0,25x|x|.$$ Сокращать на $(x-4)$ можно только при $x-4\neq 0$, поэтому область определения: $x\neq 4$. Значение $x=0$ разрешено — там знаменатель равен $-4$, а не нулю.

Разбираемся, что за график $y=0,25x|x|$. Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0,25x^{2}$ — правая половина параболы, растущая из начала координат вверх;
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0,25x^{2}$ — левая половина перевёрнутой параболы, уходящая из начала координат вниз.

Обе половинки стыкуются в точке $(0;0)$ и вместе дают одну гладкую возрастающую линию. Ключевое свойство: функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому каждое значение $y$ она принимает РОВНО ОДИН раз, и никакое число не пропускает.

Выколотая точка. Точка $x=4$ выброшена из области определения. Подставим её в упрощённую формулу: $y=0,25\cdot 4\cdot |4|=0,25\cdot 4\cdot 4=4$. Значит на графике выколота точка $(4;4)$.

Раз каждый уровень $y=m$ достигался бы ровно один раз, единственный способ остаться совсем без общих точек — чтобы этот единственный «кандидат» оказался выколотым. Это происходит при $m=4$.