Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038721

Подмодульное выражение обращается в ноль при $x=-7$, значит именно эта точка делит ось на две части, и на каждой график задаётся своей формулой.

Полезно сначала разложить квадратную часть: $-x^{2}-13x-42=-(x^{2}+13x+42)=-(x+6)(x+7)$. Скобка $(x+7)$ повторяет то, что стоит под модулем.

Случай $x\geq -7$. Здесь $|x+7|=x+7$, поэтому $$y=3(x+7)-(x+6)(x+7)=(x+7)\big(3-(x+6)\big)=(x+7)(-3-x)=-(x+7)(x+3).$$ Парабола ветвями вниз, нули $x=-7$ и $x=-3$, вершина посередине: $x_0=\dfrac{-7+(-3)}{2}=-5$, $y_0=-(-5+7)(-5+3)=-2\cdot(-2)=4$. Итак, справа график поднимается от $(-7;0)$ до вершины $(-5;4)$, спускается в $(-3;0)$ и дальше уходит вниз.

Случай $x<-7$. Здесь $|x+7|=-(x+7)$, поэтому $$y=-3(x+7)-(x+6)(x+7)=-(x+7)\big(3+(x+6)\big)=-(x+7)(x+9).$$ Снова парабола ветвями вниз, нули $x=-7$ и $x=-9$, вершина посередине: $x_0=-8$, $y_0=-(-8+7)(-8+9)=-(-1)\cdot 1=1$. Слева график приходит снизу, поднимается до горба $(-8;1)$ и опускается к $(-7;0)$.

Итог: два горба ветвями вниз — низкий слева высотой $1$ и высокий справа высотой $4$, между ними общая нижняя точка $(-7;0)$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m>4$: точек нет;
• $m=4$: одна (вершина правого горба);
• $1</li><li>$m=1$: три — вершина левого горба$(-8;1)$и две точки на правом горбе (уравнение$-(x+7)(x+3)=1$даёт корни$x=-5\pm\sqrt{3}$, оба больше$-7$);</li><li>$0
• $m=0$: три — впадина $(-7;0)$, точка $(-9;0)$ слева и точка $(-3;0)$ справа;
• $m&lt;0$: две.

Ровно три общие точки — при $m=0$ и при $m=1$.