Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038720

График состоит из двух кусков, граница — точка $x=4$.

Правый кусок, $x\geq 4$: парабола $y=x^{2}-10x+25$. Заметим, что это полный квадрат: $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$. Значит парабола ветвями вверх с вершиной $(5;0)$, и вершина попадает в область $x\geq 4$. Начало куска: при $x=4$ получаем $y=(4-5)^{2}=1$, точка $(4;1)$ закрашена. Кусок спускается от $(4;1)$ к вершине $(5;0)$, а затем неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt 4$: прямая $y=x-2$. Возрастает. При $x=4$ формула дала бы $y=2$, но эта точка куску не принадлежит: $(4;2)$ выколота. При $x\lt 4$ получаем $y\lt 2$: луч даёт все значения строго меньше $2$, каждое ровно один раз.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $(x-5)^{2}=m$: при $m\lt 0$ решений нет, при $m\geq 0$ получаем $x=5\pm\sqrt{m}$. Условию $x\geq 4$ меньший корень $5-\sqrt{m}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{m}\leq 1$, то есть при $m\leq 1$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$ (вершина), две при $0\lt m\leq 1$, одну при $m\gt 1$.

• $m\lt 0$: $0+1=1$ точка;
• $m=0$: $1+1=2$ точки;
• $0\lt m\leq 1$: $2+1=3$ точки;
• $1\lt m\lt 2$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 2$: $1+0=1$ точка (на уровне $2$ точка луча выколота).

Ровно две общие точки: при $m=0$ и при $1\lt m\lt 2$.