Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038719

Упростим формулу. Вынесем $x$ в знаменателе: $3x^{2}+5x=x(3x+5)$, тогда $$y=\dfrac{3x+5}{x(3x+5)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение допустимо только там, где исходная дробь определена, а знаменатель $x(3x+5)$ обращается в ноль при $x=0$ и при $3x+5=0$, то есть при $x=-\dfrac{5}{3}$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq -\dfrac{5}{3}$.

Итак, график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$, у которой выколота одна точка: при $x=-\dfrac{5}{3}$ формула дала бы $y=\dfrac{1}{-5/3}=-\dfrac{3}{5}=-0,6$. Значит точка $\left(-\dfrac{5}{3};-0,6\right)$ на графике отсутствует.

Прямые $y=kx$. Все они проходят через начало координат. Пересечения находим из уравнения $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k\leq 0$ решений нет, при $k>0$ их ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, по одной точке на каждой ветви гиперболы.

Значит ровно одна общая точка получится только тогда, когда одна из этих двух точек окажется выколотой. Подставим её координаты в уравнение прямой: $$-0,6=k\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right)\ \Rightarrow\ k=\dfrac{-0,6}{-5/3}=0,6\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0,36.$$

Проверка: при $k=0,36$ имеем $x^{2}=\dfrac{1}{0,36}=\dfrac{25}{9}$, значит $x=-\dfrac{5}{3}$ (эта точка выколота) и $x=\dfrac{5}{3}$. Остаётся ровно одна общая точка $\left(\dfrac{5}{3};0,6\right)$.