Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038718

Модуль обращается в ноль при $x=-8$, поэтому график распадается на два куска: левее и правее этой точки.

Сначала разложим квадратную часть на множители: $-x^{2}-14x-48=-(x^{2}+14x+48)=-(x+6)(x+8)$. Множитель $(x+8)$ совпадает с подмодульным выражением — это и делает задачу решаемой в уме.

Случай $x\geq -8$. Тогда $|x+8|=x+8$, и $$y=3(x+8)-(x+6)(x+8)=(x+8)\big(3-(x+6)\big)=(x+8)(-3-x)=-(x+8)(x+3).$$ Это парабола ветвями вниз с нулями $x=-8$ и $x=-3$. Вершина стоит посередине: $x_0=\dfrac{-8+(-3)}{2}=-5,5$, а $y_0=-(-5,5+8)(-5,5+3)=-2,5\cdot(-2,5)=6,25$. Значит справа график поднимается от точки $(-8;0)$ до вершины $(-5,5;6,25)$, возвращается в $(-3;0)$ и дальше уходит вниз.

Случай $x<-8$. Тогда $|x+8|=-(x+8)$, и $$y=-3(x+8)-(x+6)(x+8)=-(x+8)\big(3+(x+6)\big)=-(x+8)(x+9).$$ Снова парабола ветвями вниз, нули $x=-8$ и $x=-9$, вершина посередине: $x_0=-8,5$, $y_0=-(-8,5+8)(-8,5+9)=-(-0,5)\cdot 0,5=0,25$. Слева график приходит снизу, поднимается до маленького горба $(-8,5;0,25)$ и спускается к точке $(-8;0)$.

Итоговая картинка: два горба разной высоты — низкий слева (высота $0,25$) и высокий справа (высота $6,25$), а между ними впадина — общая точка $(-8;0)$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m>6,25$: точек нет;
• $m=6,25$: одна (вершина правого горба);
• $0,25</li><li>$m=0,25$: три — вершина левого горба и две точки на правом;</li><li>$0
• $m=0$: три — впадина $(-8;0)$, точка $(-9;0)$ слева и точка $(-3;0)$ справа;
• $m&lt;0$: две.

Ровно три общие точки бывают при $m=0$ и при $m=0,25$.