Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038717

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=-2$.

Правый кусок, $x\geq -2$: парабола $y=-x^{2}-2x-3$. Старший коэффициент $-1$, ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=-1$, $y_0=-(-1)^{2}-2\cdot(-1)-3=-1+2-3=-2$. Вершина $(-1;-2)$ попадает в область $x\geq -2$, значит «горб» на графике есть. Начало куска: при $x=-2$ получаем $y=-4+4-3=-3$, точка $(-2;-3)$ закрашена. Обрати внимание: вся парабола лежит НИЖЕ оси $Ox$ — её наибольшее значение равно $-2$.

Левый кусок, $x\lt -2$: прямая $y=-x-7$. При $x=-2$ формула дала бы $y=2-7=-5$, но эта точка куску не принадлежит: $(-2;-5)$ выколота. При $x\lt -2$ имеем $-x\gt 2$, то есть $y\gt -5$: луч даёт все значения строго больше $-5$, каждое по одному разу.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $-x^{2}-2x-3=m$, то есть $x^{2}+2x+3+m=0$, откуда $x=-1\pm\sqrt{-2-m}$. Корни существуют при $-2-m\geq 0$, то есть при $m\leq -2$. Условию $x\geq -2$ меньший корень $-1-\sqrt{-2-m}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{-2-m}\leq 1$, то есть при $m\geq -3$. Итого парабола даёт: $0$ точек при $m\gt -2$, одну при $m=-2$, две при $-3\leq m\lt -2$, одну при $m\lt -3$.

• $m\gt -2$: $0+1=1$ точка;
• $m=-2$: $1+1=2$ точки;
• $-3\leq m\lt -2$: $2+1=3$ точки;
• $-5\lt m\lt -3$: $1+1=2$ точки;
• $m\leq -5$: $1+0=1$ точка (луч на уровне $-5$ точку не даёт — она выколота).

Ровно две общие точки: при $m=-2$ и при $-5\lt m\lt -3$.