Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038716

Упростим формулу. В знаменателе выносим $x$: $5x^{2}-8x=x(5x-8)$, поэтому $$y=\dfrac{5x-8}{x(5x-8)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращать можно только там, где исходная дробь существует. Знаменатель $x(5x-8)$ равен нулю при $x=0$ и при $5x-8=0$, то есть при $x=\dfrac{8}{5}=1,6$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq 1,6$.

Получается гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой: при $x=1,6$ формула дала бы $y=\dfrac{1}{1,6}=0,625$, значит точка $(1,6;0,625)$ на графике отсутствует.

Прямые $y=kx$. Все они проходят через начало координат. Ищем пересечения: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k=0$ уравнение превращается в $0=1$ — решений нет; при $k<0$ правая часть отрицательна, а $x^{2}\geq 0$ — снова нет. При $k>0$ получаем $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ — ровно ДВА корня, симметричных относительно нуля.

Значит одна-единственная общая точка бывает лишь тогда, когда один из этих двух корней попал в выколотую точку. Подставим её координаты в уравнение прямой: $$0,625=k\cdot 1,6\ \Rightarrow\ k=\dfrac{0,625}{1,6}=\dfrac{5/8}{8/5}=\dfrac{25}{64}.$$

Проверка: при $k=\dfrac{25}{64}$ получаем $x^{2}=\dfrac{64}{25}$, значит $x=1,6$ (эта точка выколота) и $x=-1,6$. Остаётся ровно одна общая точка $(-1,6;-0,625)$.