Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038715

Упростим дробь. Знаменатель: $x^{2}-5x=x(x-5)$, значит $$\dfrac{x-5}{x^{2}-5x}=\dfrac{x-5}{x(x-5)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение возможно только там, где исходное выражение имеет смысл, а знаменатель равен нулю при $x=0$ и при $x=5$. Итого область определения: $x\neq 0$, $x\neq 5$.

Значит $y=2-\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$ и $x\neq 5$. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, поднятая на $2$ вверх. Её горизонтальная асимптота — прямая $y=2$, вертикальная — прямая $x=0$.

Первое «пустое» значение. Число $y=2$ график не принимает никогда: равенство $2-\dfrac{1}{x}=2$ означало бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого $x$ не существует.

Второе «пустое» значение — выколотая точка. При $x=5$ формула дала бы $y=2-\dfrac{1}{5}=2-0,2=1,8$. Но $x=5$ запрещён, значит точка $(5;1,8)$ на графике выколота.

Осталось убедиться, что значение $1,8$ больше нигде не встречается. Уравнение $2-\dfrac{1}{x}=m$ при $m\neq 2$ равносильно $\dfrac{1}{x}=2-m$, откуда $x=\dfrac{1}{2-m}$ — корень ровно один. Для $m=1,8$ это как раз $x=\dfrac{1}{0,2}=5$, то есть единственный кандидат и был выколот.

Итак, прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=2$ (совпадает с асимптотой) и при $m=1,8$ (проходит через выколотую точку).