Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038714

В формуле спрятано полезное тождество: для любых чисел $a$ и $b$ верно $\dfrac{1}{2}(|a-b|+a+b)=\max(a;b)$. Действительно, если $a\geq b$, то $|a-b|=a-b$ и всё выражение равно $\dfrac{(a-b)+a+b}{2}=a$; если же $a\lt b$, то $|a-b|=b-a$ и получается $b$. То есть эта конструкция всегда выдаёт БОЛЬШЕЕ из двух чисел.

У нас $a=\dfrac{x}{2}$, $b=\dfrac{2}{x}$, поэтому $y=\max\left(\dfrac{x}{2};\dfrac{2}{x}\right)$ при $x\neq 0$. Значит чертим в одних осях прямую $y=\dfrac{x}{2}$ и гиперболу $y=\dfrac{2}{x}$, а потом оставляем ту линию, которая выше.

Точки «переключения». $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{x}$, значит $x^{2}=4$ и $x=2$ либо $x=-2$. Ординаты: при $x=2$ получаем $y=1$, при $x=-2$ получаем $y=-1$.

Кто выше на каждом промежутке (проверяем пробными точками):

• $x\lt -2$ (проба $x=-4$): $\dfrac{-4}{2}=-2$ против $\dfrac{2}{-4}=-0,5$ — выше гипербола;
• $-2\leq x\lt 0$ (проба $x=-1$): $-0,5$ против $-2$ — выше прямая;
• $0\lt x\leq 2$ (проба $x=1$): $0,5$ против $2$ — выше гипербола;
• $x\gt 2$ (проба $x=4$): $2$ против $0,5$ — выше прямая.

Какие значения принимает график. Слева от нуля: ветвь гиперболы при $x\leq -2$ даёт значения от $-1$ (в точке $x=-2$) и вплоть до нуля, не достигая его; кусок прямой при $-2\leq x\lt 0$ даёт то же самое — от $-1$ до нуля. Поэтому каждое $m$ из промежутка $-1\lt m\lt 0$ встречается ДВА раза, а $m=-1$ — ровно один раз: это «уголок» $(-2;-1)$, самая высокая точка левой части.

Справа от нуля картина зеркальная: ветвь гиперболы при $0\lt x\leq 2$ спускается от бесконечности до $1$, кусок прямой при $x\geq 2$ поднимается от $1$ вверх. Каждое $m\gt 1$ встречается два раза, а $m=1$ — один раз (уголок $(2;1)$).

Значения $0\leq m\lt 1$ и $m\lt -1$ график не принимает вообще. Значит ровно одна общая точка с прямой $y=m$ бывает только при $m=-1$ и $m=1$.