Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038713

Функция задана двумя формулами, поэтому график состоит из двух кусков с границей в точке $x=-3$.

Правый кусок, $x\geq -3$: парабола $y=-x^{2}-2x+1$. Старший коэффициент $-1$, ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=-1$, $y_0=-(-1)^{2}-2\cdot(-1)+1=-1+2+1=2$, то есть точка $(-1;2)$, и она попадает в область $x\geq -3$. Начало куска: при $x=-3$ получаем $y=-9+6+1=-2$, точка $(-3;-2)$ закрашена. Кусок идёт от $(-3;-2)$ вверх к вершине $(-1;2)$, а затем спускается вниз без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -3$: прямая $y=-x-2$. Убывает, но мы движемся влево, поэтому она поднимается. При $x=-3$ формула дала бы $y=3-2=1$ — точка $(-3;1)$ выколота. При $x\lt -3$ выполняется $-x\gt 3$, то есть $y\gt 1$: луч даёт все значения строго больше $1$, каждое по одному разу.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы: $-x^{2}-2x+1=m$, то есть $x^{2}+2x+(m-1)=0$, откуда $x=-1\pm\sqrt{2-m}$. Корни есть при $m\leq 2$; условию $x\geq -3$ меньший корень $-1-\sqrt{2-m}$ удовлетворяет при $\sqrt{2-m}\leq 2$, то есть при $m\geq -2$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\gt 2$, одну при $m=2$, две при $-2\leq m\lt 2$, одну при $m\lt -2$.

• $m\gt 2$: $0+1=1$ точка;
• $m=2$: $1+1=2$ точки;
• $1\lt m\lt 2$: $2+1=3$ точки;
• $-2\leq m\leq 1$: $2+0=2$ точки (луч на уровне $1$ точку не даёт — она выколота);
• $m\lt -2$: $1+0=1$ точка.

Ровно две общие точки: при $m=2$ и при всех $m$ от $-2$ до $1$ включительно.