Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038712

Разложим знаменатель на множители: $7x^{2}-10x=x(7x-10)$. Тогда $$y=\dfrac{7x-10}{x(7x-10)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращение законно только там, где исходная дробь существует, а знаменатель $x(7x-10)$ равен нулю при $x=0$ и при $7x-10=0$, то есть при $x=\dfrac{10}{7}$. Значит область определения: $x\neq 0$ и $x\neq \dfrac{10}{7}$.

Итак, график — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с одной выколотой точкой. Её ордината: $y=\dfrac{1}{10/7}=\dfrac{7}{10}=0,7$. Выколота точка $\left(\dfrac{10}{7};0,7\right)$.

Пересечения с прямой $y=kx$. Такая прямая проходит через начало координат. Подставляем: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ При $k\leq 0$ решений нет: при $k=0$ получаем неверное равенство $0=1$, а при $k<0$ правая часть отрицательна. При $k>0$ корней ровно два: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, они лежат на разных ветвях гиперболы.

Значит ровно одна общая точка бывает только тогда, когда один из этих двух корней попадает в выколотую точку. Подставим её координаты в $y=kx$: $$0,7=k\cdot\dfrac{10}{7}\ \Rightarrow\ k=0,7\cdot\dfrac{7}{10}=\dfrac{49}{100}=0,49.$$

Проверка: при $k=0,49$ имеем $x^{2}=\dfrac{1}{0,49}=\dfrac{100}{49}$, значит $x=\dfrac{10}{7}$ (эта точка выколота) и $x=-\dfrac{10}{7}$. Остаётся ровно одна общая точка $\left(-\dfrac{10}{7};-0,7\right)$.