Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038711

Упрощаем формулу. В числителе выносим общий множитель: $0,75x^{2}+1,5x=0,75x(x+2)$. Тогда $$y=\dfrac{0,75x(x+2)\cdot |x|}{x+2}=0,75x|x|.$$ Сокращать на $(x+2)$ можно только при $x+2\neq 0$, поэтому область определения: $x\neq -2$. Значение $x=0$, наоборот, разрешено — знаменатель там равен $2$.

Что за график $y=0,75x|x|$. Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=0,75x^{2}$ — правая ветвь параболы, идущая из начала координат вверх;
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-0,75x^{2}$ — левая ветвь перевёрнутой параболы, идущая из начала координат вниз.

Получается одна плавная линия, похожая на «лежащую» кубическую кривую: она проходит через $(0;0)$, при движении вправо поднимается, при движении влево опускается. Главное свойство: функция строго возрастает на всей области определения, поэтому КАЖДОЕ значение $y$ она принимает не больше одного раза, и вместе левая и правая ветви покрывают все действительные числа.

Выколотая точка. Точка $x=-2$ выброшена. Подставим её в упрощённую формулу: $y=0,75\cdot(-2)\cdot|-2|=0,75\cdot(-2)\cdot 2=-3$. Значит на графике выколота точка $(-2;-3)$.

Итак, каждое число $m$ график принимал бы ровно один раз, но единственная точка с ординатой $-3$ как раз и выколота. Значит прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек только при $m=-3$.