ID: 00038710
Источник: ФИПИ
Упростим формулу. Знаменатель раскладывается: $x^{2}-3x=x(x-3)$, поэтому $$y=\dfrac{x-3}{x(x-3)}=\dfrac{1}{x}.$$ Но сокращать мы имели право только там, где исходная дробь вообще существует, а знаменатель $x(x-3)$ обращается в ноль при $x=0$ и при $x=3$. Значит область определения: $x\neq 0$, $x\neq 3$.
Итак, график — это привычная гипербола $y=\dfrac{1}{x}$, у которой выколота одна точка: при $x=3$ было бы $y=\dfrac{1}{3}$, значит точка $\left(3;\dfrac{1}{3}\right)$ на графике отсутствует.
Теперь про прямые $y=kx$. Это прямые, проходящие через начало координат. Ищем их пересечения с гиперболой: $$kx=\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ kx^{2}=1\ \Rightarrow\ x^{2}=\dfrac{1}{k}.$$ Если $k\leq 0$, то решений нет ($k=0$ даёт $0=1$, а при $k<0$ правая часть отрицательна, тогда как $x^{2}\geq 0$): прямая $y=kx$ гиперболу не задевает вовсе. Если же $k>0$, то $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ — получаются ДВЕ точки, симметричные относительно начала координат, по одной на каждой ветви.
Значит одна общая точка возможна только в одном случае: одна из этих двух точек как раз и есть выколотая точка $\left(3;\dfrac{1}{3}\right)$ — тогда она «не считается», и остаётся ровно одна.
Найдём нужное $k$: прямая $y=kx$ проходит через точку $\left(3;\dfrac{1}{3}\right)$, значит $\dfrac{1}{3}=k\cdot 3$, откуда $k=\dfrac{1}{9}$.
Проверим: при $k=\dfrac{1}{9}$ получаем $x^{2}=9$, то есть $x=3$ (выколота) и $x=-3$. Остаётся единственная общая точка $\left(-3;-\dfrac{1}{3}\right)$. Всё сходится.