Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038709

График — ломаная из трёх кусков. Границы областей: $x=1$ и $x=4$.

Кусок 1, $x\lt 1$: $y=4x-5$. Возрастает. При $x=1$ формула дала бы $y=4-5=-1$, но $x=1$ сюда не входит: точка $(1;-1)$ выколота. Влево луч уходит вниз, значит покрывает все значения $y\lt -1$, каждое один раз.

Кусок 2, $1\leq x\leq 4$: $y=-2,5x+5$. Отрезок, убывает. При $x=1$: $y=-2,5+5=2,5$, точка $(1;2,5)$ закрашена. При $x=4$: $y=-10+5=-5$, точка $(4;-5)$ закрашена. Отрезок даёт все значения от $-5$ до $2,5$ включительно.

Кусок 3, $x\gt 4$: $y=x-9$. Возрастает. При $x=4$ было бы $y=4-9=-5$, но эта точка куску не принадлежит: $(4;-5)$ выколота. Вправо луч уходит вверх и даёт все значения $y\gt -5$.

Здесь важная деталь: в точке $x=1$ график разрывается (луч подходит к высоте $-1$, а отрезок начинается с высоты $2,5$), а в точке $x=4$ разрыва по значению нет — отрезок заканчивается в $(4;-5)$ закрашенной точкой, и луч выходит из этой же точки, но уже выколотой. То есть точка $(4;-5)$ на графике ЕСТЬ ровно одна.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\lt -5$: $1+0+0=1$ точка;
• $m=-5$: первый луч даёт точку (ведь $-5\lt -1$), отрезок даёт $(4;-5)$, третий луч — ничего: $1+1+0=2$ точки;
• $-5\lt m\lt -1$: $1+1+1=3$ точки;
• $-1\leq m\leq 2,5$: первый луч уже не работает (при $m=-1$ точка выколота, при $m\gt -1$ значений нет), остаются отрезок и третий луч: $0+1+1=2$ точки;
• $m\gt 2,5$: $0+0+1=1$ точка.

Ровно две общие точки: при $m=-5$ и при всех $m$ от $-1$ до $2,5$ включительно.