ID: 00038706
Источник: ФИПИ
Сначала упростим формулу. В знаменателе выносим общий множитель: $x^{2}-4x=x(x-4)$. Тогда $$\dfrac{x-4}{x^{2}-4x}=\dfrac{x-4}{x(x-4)}=\dfrac{1}{x}.$$ Сокращать можно только при $x-4\neq 0$, а знаменатель не должен быть нулём, поэтому область определения: $x\neq 0$ и $x\neq 4$.
Значит $y=-1-\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$, $x\neq 4$. Это обычная гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, поднятая на $1$ вниз, то есть сдвинутая вдоль оси $Oy$ на $-1$. Её горизонтальная асимптота — прямая $y=-1$, вертикальная — прямая $x=0$.
Первая «дырка» — асимптота. Значение $y=-1$ график не принимает никогда: для этого нужно было бы $\dfrac{1}{x}=0$, а дробь $\dfrac{1}{x}$ нулём не бывает ни при каком $x$.
Вторая «дырка» — выколотая точка. Точка $x=4$ из области определения выброшена, а формула дала бы там $y=-1-\dfrac{1}{4}=-1,25$. Значит на графике точка $(4;-1,25)$ выколота. Могло бы показаться, что значение $-1,25$ всё равно достигается где-то ещё, но нет: гипербола $y=-1-\dfrac{1}{x}$ каждое своё значение принимает ровно один раз (уравнение $-1-\dfrac{1}{x}=m$ при $m\neq -1$ даёт единственный корень $x=-\dfrac{1}{m+1}$). Единственный кандидат на $y=-1,25$ как раз и был выколот.
Итак, горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график ровно в двух случаях: когда она совпадает с асимптотой, то есть $m=-1$, и когда она проходит через выколотую точку, то есть $m=-1,25$.