Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038705

В формуле есть модуль, поэтому график распадается на два куска — по разные стороны от точки, где подмодульное выражение обращается в ноль, то есть от $x=3$.

Сначала полезно разложить квадратную часть на множители: $-x^{2}+7x-12=-(x^{2}-7x+12)=-(x-3)(x-4)$. Множитель $(x-3)$ встретится и в модуле — это подсказка, что числа будут красивые.

Случай $x\geq 3$. Тогда $|x-3|=x-3$ и $y=5(x-3)-(x-3)(x-4)=(x-3)\big(5-(x-4)\big)=(x-3)(9-x)$. Это парабола ветвями вниз с нулями $x=3$ и $x=9$; вершина посередине: $x_0=\dfrac{3+9}{2}=6$, $y_0=(6-3)(9-6)=3\cdot 3=9$. Итак, на этом куске график поднимается от точки $(3;0)$ до вершины $(6;9)$, возвращается в $(9;0)$ и дальше уходит вниз.

Случай $x\lt 3$. Тогда $|x-3|=3-x$ и $y=5(3-x)-(x-3)(x-4)=(3-x)\big(5+(x-4)\big)=(3-x)(x+1)$. Это тоже парабола ветвями вниз с нулями $x=3$ и $x=-1$; вершина посередине: $x_0=\dfrac{-1+3}{2}=1$, $y_0=(3-1)(1+1)=2\cdot 2=4$, то есть точка $(1;4)$. На этом куске график приходит снизу, поднимается до $(1;4)$ и спускается к $(3;0)$.

Что получилось. Обе части сходятся в точке $(3;0)$ — это «впадина» графика, самая нижняя точка между двумя горбами. Горб слева имеет высоту $4$, горб справа — высоту $9$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\gt 9$: точек нет;
• $m=9$: одна (вершина правого горба);
• $4\lt m\lt 9$: две (обе на правом горбе);
• $m=4$: три — вершина левого горба $(1;4)$ и две точки на правом горбе;
• $0\lt m\lt 4$: четыре (по две на каждом горбе);
• $m=0$: три — впадина $(3;0)$, точка $(-1;0)$ слева и точка $(9;0)$ справа;
• $m\lt 0$: две (по одной на убегающих вниз ветвях).

Ровно три общие точки бывают на двух уровнях: $m=0$ (высота впадины) и $m=4$ (высота более низкого горба).