Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038704

График склеен из двух кусков: правее и в самой точке $x=3$ — часть параболы, левее — луч прямой.

Правый кусок, $x\geq 3$: парабола $y=-x^{2}+10x-21$. Старший коэффициент отрицательный, ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5$, $y_0=-25+50-21=4$, то есть точка $(5;4)$, и она попадает в область $x\geq 3$. Начало куска: при $x=3$ получаем $y=-9+30-21=0$, точка $(3;0)$ закрашена (это как раз один из нулей функции, ведь $-x^{2}+10x-21=-(x-3)(x-7)$). Кусок поднимается от $(3;0)$ к вершине $(5;4)$, проходит через $(7;0)$ и дальше уходит вниз.

Левый кусок, $x\lt 3$: прямая $y=-x+5$. Она убывает; при $x=3$ формула дала бы $y=2$, но эта точка куску не принадлежит — $(3;2)$ выколота. При $x\lt 3$ получаем $-x\gt -3$, то есть $y\gt 2$: луч принимает все значения строго больше $2$, каждое по одному разу.

Пересечения с прямой $y=m$. Для параболы решаем $-x^{2}+10x-21=m$, то есть $x^{2}-10x+21+m=0$, откуда $x=5\pm\sqrt{4-m}$. Корни существуют при $m\leq 4$; условию $x\geq 3$ меньший корень $5-\sqrt{4-m}$ удовлетворяет, когда $\sqrt{4-m}\leq 2$, то есть при $m\geq 0$. Значит кусок параболы даёт: $0$ точек при $m\gt 4$, одну при $m=4$, две при $0\leq m\lt 4$ и одну при $m\lt 0$.

• $m\gt 4$: $0+1=1$ точка;
• $m=4$: $1+1=2$ точки;
• $2\lt m\lt 4$: $2+1=3$ точки;
• $0\leq m\leq 2$: $2+0=2$ точки (луч сюда уже не достаёт, ведь при $m=2$ точка выколота);
• $m\lt 0$: $1+0=1$ точка.

Ровно две общие точки: при $m=4$ и при всех $m$ от $0$ до $2$ включительно.