Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038702

Ключ к задаче — известное тождество для модуля: для любых чисел $a$ и $b$ верно $\dfrac{1}{2}(|a-b|+a+b)=\max(a;b)$, то есть половина суммы «модуль разности плюс сумма» — это просто большее из двух чисел. Проверим: если $a\geq b$, то $|a-b|=a-b$ и выражение равно $\dfrac{(a-b)+a+b}{2}=a$; если $a\lt b$, то $|a-b|=b-a$ и получится $b$.

У нас $a=\dfrac{x}{4}$, $b=\dfrac{4}{x}$, поэтому $y=\max\left(\dfrac{x}{4};\dfrac{4}{x}\right)$ при $x\neq 0$. Значит надо начертить в одних осях прямую $y=\dfrac{x}{4}$ и гиперболу $y=\dfrac{4}{x}$ и оставить ту линию, которая в данном месте выше.

Где линии пересекаются. $\dfrac{x}{4}=\dfrac{4}{x}$, значит $x^{2}=16$ и $x=4$ или $x=-4$. В этих точках $y=1$ и $y=-1$ соответственно.

Разбираем, кто выше на каждом промежутке (достаточно подставить по одной пробной точке):

• $x\lt -4$ (проба $x=-8$): $\dfrac{-8}{4}=-2$, $\dfrac{4}{-8}=-0,5$ — выше гипербола, берём $y=\dfrac{4}{x}$;
• $-4\leq x\lt 0$ (проба $x=-2$): $\dfrac{-2}{4}=-0,5$, $\dfrac{4}{-2}=-2$ — выше прямая, берём $y=\dfrac{x}{4}$;
• $0\lt x\leq 4$ (проба $x=2$): $\dfrac{2}{4}=0,5$, $\dfrac{4}{2}=2$ — выше гипербола;
• $x\gt 4$ (проба $x=8$): $\dfrac{8}{4}=2$, $\dfrac{4}{8}=0,5$ — выше прямая.

Какие значения принимает график. На кусках левее нуля: ветвь гиперболы при $x\leq -4$ даёт значения от $-1$ (в точке $x=-4$) до $0$, не достигая нуля; отрезок прямой при $-4\leq x\lt 0$ даёт значения от $-1$ снова до нуля. То есть каждое число из промежутка $-1\lt m\lt 0$ встречается на левой части ровно ДВА раза, а число $-1$ — один раз (это «уголок» — точка $(-4;-1)$, где куски стыкуются).

Правее нуля картина такая же, только вверх: ветвь гиперболы при $0\lt x\leq 4$ спускается с бесконечности до $1$, прямая при $x\geq 4$ поднимается от $1$ вверх. Каждое $m\gt 1$ встречается два раза, а $m=1$ — один раз (уголок $(4;1)$).

Значения $0\leq m\lt 1$ и $m\leq -1$, кроме самого $-1$, график вообще не принимает: между $-1$ и $1$ он «проваливается» к нулю, но нуля не достигает.

Итого ровно одна общая точка с прямой $y=m$ бывает только на уровне уголков: $m=-1$ и $m=1$.