Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038701

Функция задана двумя формулами, поэтому график собираем из двух кусков: справа от $x=-3$ — часть параболы, слева — луч прямой.

Правый кусок, $x\geq -3$: парабола $y=-x^{2}-4x+1$. Старший коэффициент $-1\lt 0$, значит ветви направлены вниз. Абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}=-2$, ордината $y_0=-(-2)^{2}-4\cdot(-2)+1=-4+8+1=5$. Вершина $(-2;5)$ лежит в области $x\geq -3$, значит настоящий «горб» на графике есть. Край куска: при $x=-3$ получаем $y=-9+12+1=4$, точка $(-3;4)$ графику принадлежит (закрашенная). Итак, кусок идёт от $(-3;4)$ вверх до вершины $(-2;5)$, а дальше уходит вниз без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -3$: прямая $y=-x-2$. Строим по двум точкам: при $x=-5$ будет $y=3$, при $x=-7$ будет $y=5$. В точке $x=-3$ формула дала бы $y=3-2=1$, но само значение $x=-3$ этому куску не принадлежит, поэтому $(-3;1)$ — выколотая точка. При $x\lt -3$ имеем $-x\gt 3$, то есть $y\gt 1$: луч принимает все значения строго больше $1$, каждое ровно один раз.

Теперь двигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения отдельно с каждым куском.

С лучом: одна точка при $m\gt 1$ и ни одной при $m\leq 1$.

С куском параболы решаем $-x^{2}-4x+1=m$, то есть $x^{2}+4x+(m-1)=0$, откуда $x=-2\pm\sqrt{5-m}$. Корни есть при $m\leq 5$, а условию $x\geq -3$ левый корень $-2-\sqrt{5-m}$ удовлетворяет только при $\sqrt{5-m}\leq 1$, то есть при $m\geq 4$. Значит: при $m\gt 5$ точек нет; при $m=5$ одна (сама вершина); при $4\leq m\lt 5$ две; при $m\lt 4$ одна.

• $m\gt 5$: $1+0=1$ точка;
• $m=5$: $1+1=2$ точки;
• $4\leq m\lt 5$: $1+2=3$ точки;
• $1\lt m\lt 4$: $1+1=2$ точки;
• $m\leq 1$: $0+1=1$ точка.

Ровно две общие точки получаются, когда прямая проходит через вершину параболы, то есть при $m=5$, и когда $m$ лежит строго между $1$ и $4$.