Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038700

Область определения: знаменатель $x^{2}+x=x(x+1)$ не должен обращаться в нуль, значит $x\neq 0$ и $x\neq -1$.

Упрощаем дробь: $$\dfrac{x+1}{x^{2}+x}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}.$$ Значит $$y=-4-\dfrac{1}{x},\qquad x\neq 0,\ x\neq -1.$$

Строим график. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$ (ветви во второй и четвёртой четвертях), опущенная на $4$ единицы вниз. Вертикальная асимптота осталась прежней — прямая $x=0$, а горизонтальная опустилась и стала прямой $y=-4$. При $x>0$ ветвь лежит ниже уровня $-4$ (например, $x=1$ даёт $y=-5$), при $x<0$ — выше него (например, $x=-1$ дало бы $y=-3$). Значение ровно $-4$ график не принимает никогда: для этого понадобилось бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого не бывает.

Выколотая точка: при $x=-1$ формула дала бы $y=-4-\dfrac{1}{-1}=-4+1=-3$. Но $x=-1$ запрещён, значит точка $(-1;-3)$ выколота — она на левой ветви.

Прямая $y=m$. Решим уравнение $-4-\dfrac{1}{x}=m$: отсюда $\dfrac{1}{x}=-4-m$ и $x=\dfrac{1}{-4-m}$. Такое $x$ существует при любом $m$, кроме $m=-4$ — на этом уровне прямая совпадает с горизонтальной асимптотой и графика не встречает.

Второй случай без общих точек — уровень выколотой точки, то есть $m=-3$.

Итого прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=-4$ и при $m=-3$.