Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038699

Обозначим $A=\dfrac{x}{3}$ и $B=\dfrac{3}{x}$. Тогда функция записывается как $y=\dfrac{1}{2}\left(|A-B|+A+B\right)$, а область определения — все $x\neq 0$.

Главный приём. Раскроем модуль по случаям. Если $A\geq B$, то $|A-B|=A-B$ и $y=\dfrac{1}{2}(A-B+A+B)=A$. Если $A\lt B$, то $|A-B|=B-A$ и $y=\dfrac{1}{2}(B-A+A+B)=B$. Значит $y$ равен наибольшему из чисел $A$ и $B$.

Правая часть, $x\gt 0$. Ищем, где $A=B$: уравнение $\dfrac{x}{3}=\dfrac{3}{x}$ даёт $x^{2}=9$, то есть $x=3$, и там оба выражения равны $1$. При $0\lt x\lt 3$ больше $B=\dfrac{3}{x}$ (например, при $x=1$: $A=\dfrac{1}{3}$, $B=3$, значит $y=3$), при $x\gt 3$ больше $A$ (например, при $x=6$: $A=2$, $B=0{,}5$, значит $y=2$). Получается «уголок»: слева ветвь гиперболы опускается от $+\infty$ до $1$, справа прямая поднимается от $1$ вверх, а нижняя точка — $(3;1)$.

Левая часть, $x\lt 0$. Оба выражения отрицательны. Равенство даёт $x=-3$ со значением $-1$. При $-3\lt x\lt 0$ больше $A=\dfrac{x}{3}$ (например, при $x=-1$: $A=-\dfrac{1}{3}$, $B=-3$, значит $y=-\dfrac{1}{3}$), при $x\lt -3$ больше $B$ (например, при $x=-6$: $A=-2$, $B=-0{,}5$, значит $y=-0{,}5$). Получается перевёрнутый уголок: обе ветви тянутся к нулю снизу, не достигая его, а самая низкая точка — $(-3;-1)$.

Итого график — два «уголка»: нижний лежит в полосе от $-1$ до $0$ (ноль не достигается), верхний — на уровне $1$ и выше.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\lt -1$ — точек нет;
• $m=-1$ — одна (нижняя точка левого уголка);
• $-1\lt m\lt 0$ — две;
• $0\leq m\lt 1$ — точек нет, в эту полосу график не заходит;
• $m=1$ — одна (нижняя точка правого уголка);
• $m\gt 1$ — две.

Значит ровно одна общая точка бывает при $m=-1$ и при $m=1$.