Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038696

Пользуемся тем, что $x^{2}=|x|^{2}$. Знаменатель раскладывается на множители: $$|x|-4{,}5x^{2}=|x|-4{,}5|x|^{2}=|x|\,(1-4{,}5|x|),$$ а числитель — та же скобка со знаком минус: $4{,}5|x|-1=-(1-4{,}5|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-4{,}5|x|)}{|x|\,(1-4{,}5|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Запреты записываем до сокращения: $x\neq 0$ и $1-4{,}5|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq\dfrac{1}{4{,}5}=\dfrac{2}{9}$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ получается $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Ветви симметричны относительно оси $y$ и обе лежат строго ниже оси $x$: около нуля уходят вниз, вдали прижимаются к оси, не касаясь её.

Выколотые точки: при $|x|=\dfrac{2}{9}$ получаем $y=-\dfrac{1}{2/9}=-4{,}5$. Значит выколоты точки $\left(\dfrac{2}{9};-4{,}5\right)$ и $\left(-\dfrac{2}{9};-4{,}5\right)$.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат.

• При $k=0$ это ось $x$; весь график лежит ниже оси, поэтому общих точек нет.
• При $k\neq 0$ решаем $kx|x|=-1$. При $x>0$ выходит $kx^{2}=-1$ — возможно лишь при $k<0$, и точка одна; при $x<0$ выходит $kx^{2}=1$ — возможно лишь при $k>0$, и точка снова одна. Значит при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Общих точек не будет, если это пересечение приходится на выколотую точку. Считаем: $$k=\dfrac{-4{,}5}{2/9}=-4{,}5\cdot\dfrac{9}{2}=-20{,}25,\qquad k=\dfrac{-4{,}5}{-2/9}=20{,}25.$$

Итого прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=0$, $k=20{,}25$ и $k=-20{,}25$.