Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038695

Обозначим для краткости $A=\dfrac{x}{4{,}5}$ и $B=\dfrac{4{,}5}{x}$. Тогда наша функция — это $y=\dfrac{1}{2}\left(|A-B|+A+B\right)$.

Главный приём. Разберём модуль по случаям. Если $A\geq B$, то $|A-B|=A-B$ и $y=\dfrac{1}{2}(A-B+A+B)=A$. Если же $A\lt B$, то $|A-B|=B-A$ и $y=\dfrac{1}{2}(B-A+A+B)=B$. Значит в любом случае $y$ — это наибольшее из чисел $A$ и $B$. Область определения: $x\neq 0$.

Правая часть, $x\gt 0$. Сравним $A$ и $B$: равенство $\dfrac{x}{4{,}5}=\dfrac{4{,}5}{x}$ даёт $x^{2}=20{,}25$, то есть $x=4{,}5$, и там $A=B=1$. При $0\lt x\lt 4{,}5$ больше оказывается $B=\dfrac{4{,}5}{x}$: например, при $x=1$ имеем $A\approx 0{,}22$, $B=4{,}5$, значит $y=4{,}5$. При $x\gt 4{,}5$ больше $A$: например, при $x=9$ имеем $A=2$, $B=0{,}5$, значит $y=2$. Получается «уголок»: слева ветвь гиперболы падает от $+\infty$ до $1$, справа прямая поднимается от $1$ вверх, а самая низкая точка — $(4{,}5;1)$.

Левая часть, $x\lt 0$. Здесь оба числа отрицательны. Равенство даёт $x=-4{,}5$, там $A=B=-1$. При $-4{,}5\lt x\lt 0$ больше оказывается $A=\dfrac{x}{4{,}5}$ (например, при $x=-1$: $A\approx -0{,}22$, $B=-4{,}5$, значит $y\approx -0{,}22$), а при $x\lt -4{,}5$ больше $B=\dfrac{4{,}5}{x}$ (например, при $x=-9$: $A=-2$, $B=-0{,}5$, значит $y=-0{,}5$). Получается перевёрнутый уголок: самая высокая точка каждой ветви стремится к нулю (но нуля не достигает), а самая низкая — общая точка $(-4{,}5;-1)$.

Итого график состоит из двух «уголков»: нижняя часть лежит в полосе от $-1$ до $0$ (нуля не достигая), верхняя — на уровне $1$ и выше.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\lt -1$ — точек нет;
• $m=-1$ — одна (самая нижняя точка левого уголка);
• $-1\lt m\lt 0$ — две (по одной на каждой ветви левого уголка);
• $0\leq m\lt 1$ — точек нет: сюда график просто не заходит;
• $m=1$ — одна (самая нижняя точка правого уголка);
• $m\gt 1$ — две (по одной на каждой ветви правого уголка).

Значит ровно одна общая точка бывает при $m=-1$ и при $m=1$.