Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038694

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=-2$.

Правый кусок, $x\geq -2$: парабола $y=-x^{2}-2x+3$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=-1$, $y_0=-1+2+3=4$, то есть $(-1;4)$ — вершина попадает в нашу область. Нули: $-x^{2}-2x+3=0$, то есть $x^{2}+2x-3=0$, откуда $x=1$ и $x=-3$; в область $x\geq -2$ попадает только $x=1$. Край куска: при $x=-2$ получаем $y=-4+4+3=3$, точка $(-2;3)$ закрашенная. Значит кусок поднимается от $(-2;3)$ к вершине $(-1;4)$, потом опускается, пересекает ось в точке $x=1$ и уходит вниз.

Левый кусок, $x\lt -2$: прямая $y=-x-1$. Она убывает: при $x=-3$ будет $y=2$, при $x=-5$ будет $y=4$. На границе формула дала бы $y=2-1=1$, но $x=-2$ этому куску не принадлежит — точка $(-2;1)$ выколота. Влево луч идёт вверх, значит он даёт все значения строго больше $1$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Луч: одна точка при $m\gt 1$, ни одной при $m\leq 1$.
• Кусок параболы: при $m\gt 4$ точек нет; при $m=4$ одна (вершина); при $3\leq m\lt 4$ две (одна на коротком подъёме от $(-2;3)$ к вершине, вторая на спуске); при $m\lt 3$ одна, потому что левая ветвь параболы уже вышла за границу $x=-2$.

Складываем: при $m\gt 4$ получается $1$; при $m=4$ выходит $1+1=2$; при $3\leq m\lt 4$ выходит $1+2=3$; при $1\lt m\lt 3$ выходит $1+1=2$; при $m\leq 1$ остаётся $0+1=1$.

Ровно две общие точки бывают при $m=4$ (прямая проходит через вершину параболы) и при всех $m$ строго между $1$ и $3$.