Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038693

Ключ к упрощению — равенство $x^{2}=|x|^{2}$. Знаменатель раскладывается на множители: $$|x|-3x^{2}=|x|-3|x|^{2}=|x|\,(1-3|x|),$$ а числитель — это та же скобка со знаком минус: $3|x|-1=-(1-3|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-3|x|)}{|x|\,(1-3|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Запреты выписываем до сокращения: $x\neq 0$ и $1-3|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq\dfrac{1}{3}$, значит $x\neq\dfrac{1}{3}$ и $x\neq-\dfrac{1}{3}$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ получается $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Ветви симметричны относительно оси $y$ и обе лежат строго ниже оси $x$.

Выколотые точки: при $x=\dfrac{1}{3}$ было бы $y=-\dfrac{1}{1/3}=-3$, при $x=-\dfrac{1}{3}$ тоже $y=-3$. Значит выколоты точки $\left(\dfrac{1}{3};-3\right)$ и $\left(-\dfrac{1}{3};-3\right)$.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат.

• При $k=0$ это ось $x$; весь график лежит ниже оси, поэтому общих точек нет.
• При $k\neq 0$ решаем $kx|x|=-1$. При $x>0$ выходит $kx^{2}=-1$ — возможно лишь при $k<0$, и точка одна; при $x<0$ выходит $kx^{2}=1$ — возможно лишь при $k>0$, и точка снова одна. Значит при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Общих точек не будет, если это пересечение попадёт в выколотую точку. Через $\left(\dfrac{1}{3};-3\right)$ прямая проходит при $k=\dfrac{-3}{1/3}=-9$, а через $\left(-\dfrac{1}{3};-3\right)$ — при $k=\dfrac{-3}{-1/3}=9$.

Итого прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=0$, $k=9$ и $k=-9$.