Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038692

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=-5$: правее парабола, левее кусок гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -5$: парабола $y=x^{2}+6x+9$. Здесь свёртывается полный квадрат: $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$. Значит ветви вверх, вершина $(-3;0)$, и парабола касается оси $x$. Край куска: при $x=-5$ получаем $y=(-5+3)^{2}=4$, точка $(-5;4)$ закрашенная. От неё кривая спускается к вершине $(-3;0)$ и дальше идёт вверх без ограничений.

Левый кусок, $x\lt -5$: гипербола $y=-\dfrac{20}{x}$. Здесь $x$ отрицателен, поэтому значения положительны. На границе формула дала бы $y=-\dfrac{20}{-5}=4$, но $x=-5$ этому куску не принадлежит — точка $(-5;4)$ выколота. Чем дальше влево, тем ближе к нулю: $x=-10$ даёт $y=2$, $x=-20$ даёт $y=1$. Значит левый кусок покрывает все значения строго между $0$ и $4$, каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$:

• Кусок гиперболы: одна точка при $0\lt m\lt 4$, иначе ни одной.
• Кусок параболы: при $m\lt 0$ точек нет; при $m=0$ одна (вершина); при $0\lt m\leq 4$ две, ведь из $(x+3)^{2}=m$ получаем $x=-3\pm\sqrt{m}$, и при $\sqrt{m}\leq 2$ оба корня не меньше $-5$; при $m\gt 4$ только одна, потому что корень $x=-3-\sqrt{m}$ уходит левее $-5$.

Складываем: при $m\lt 0$ точек нет; при $m=0$ ровно одна; при $0\lt m\lt 4$ получается $2+1=3$; при $m=4$ выходит $2+0=2$ (это $x=-5$ и $x=-1$); при $m\gt 4$ остаётся одна.

Значит одну или две общие точки прямая имеет при $m=0$ и при всех $m$, начиная с $4$ и больше.