Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038691

Модуль $|x-2|$ меняет знак при $x=2$, поэтому раскрываем его отдельно на двух промежутках и получаем две параболы.

При $x\geq 2$: $|x-2|=x-2$, значит $y=5(x-2)-x^{2}+5x-6=5x-10-x^{2}+5x-6=-x^{2}+10x-16$. Ветви вниз. Вершина: $x_0=-\dfrac{10}{2\cdot(-1)}=5$, $y_0=-25+50-16=9$, то есть $(5;9)$. Нули: $x^{2}-10x+16=0$, откуда $x=2$ и $x=8$ — оба в нашей области.

При $x\lt 2$: $|x-2|=2-x$, значит $y=5(2-x)-x^{2}+5x-6=10-5x-x^{2}+5x-6=-x^{2}+4$. Тоже ветви вниз, вершина $(0;4)$. Нули: $-x^{2}+4=0$, откуда $x=\pm 2$; в промежуток $x\lt 2$ попадает только $x=-2$.

При $x=2$ обе формулы дают $y=0$, поэтому график не рвётся. Картинка двугорбая: слева кривая поднимается из $-\infty$, проходит через $(-2;0)$, доходит до горба $(0;4)$, опускается до нуля в точке $(2;0)$, затем поднимается до большого горба $(5;9)$ и уходит вниз, пересекая ось при $x=8$.

Считаем пересечения с прямой $y=m$:

• $m\gt 9$ — точек нет;
• $m=9$ — одна (вершина большого горба);
• $4\lt m\lt 9$ — две, обе на большом горбе;
• $m=4$ — вершина левого горба даёт $1$ точку, большой горб даёт $2$, итого три;
• $0\lt m\lt 4$ — по две точки на каждом горбе, итого четыре;
• $m=0$ — левый кусок даёт только $x=-2$, правый даёт $x=2$ и $x=8$, итого три;
• $m\lt 0$ — остаются только две крайние ветви, итого две.

Значит ровно три общие точки бывают на уровне вершины левого горба и на уровне дна провала между горбами.