Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038690

Область определения: знаменатель $x^{2}+5x=x(x+5)$ не должен быть нулём, поэтому $x\neq 0$ и $x\neq -5$.

Упрощаем дробь: $$\dfrac{x+5}{x^{2}+5x}=\dfrac{x+5}{x(x+5)}=\dfrac{1}{x},$$ значит $$y=5-\dfrac{1}{x},\qquad x\neq 0,\ x\neq -5.$$

Строим график. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$, поднятая на $5$ единиц вверх. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$, горизонтальная — прямая $y=5$. При $x>0$ ветвь лежит ниже уровня $5$ (например, $x=1$ даёт $y=4$), при $x<0$ — выше него (например, $x=-1$ даёт $y=6$). Значение ровно $5$ график не принимает никогда, ведь дробь $\dfrac{1}{x}$ нулём не бывает.

Выколотая точка: при $x=-5$ формула дала бы $y=5-\dfrac{1}{-5}=5+0{,}2=5{,}2$. Но $x=-5$ запрещён, поэтому точка $(-5;\ 5{,}2)$ выколота — она лежит на левой ветви.

Прямая $y=m$. Решим уравнение $5-\dfrac{1}{x}=m$: отсюда $\dfrac{1}{x}=5-m$ и $x=\dfrac{1}{5-m}$. Решение существует при любом $m$, кроме $m=5$ — на этом уровне прямая совпадает с горизонтальной асимптотой и графика не встречает.

Второй случай без общих точек — уровень выколотой точки, то есть $m=5{,}2$.

Итого общих точек нет при $m=5$ и при $m=5{,}2$.