Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038689

Область определения: знаменатель $x^{2}+2x=x(x+2)$ не должен обращаться в нуль, значит $x\neq 0$ и $x\neq -2$.

Упрощаем дробь: $$\dfrac{x+2}{x^{2}+2x}=\dfrac{x+2}{x(x+2)}=\dfrac{1}{x}.$$ Значит $$y=3-\dfrac{1}{x},\qquad x\neq 0,\ x\neq -2.$$

Строим график. Это гипербола $y=-\dfrac{1}{x}$ (ветви во второй и четвёртой четвертях), поднятая на $3$ единицы вверх. Вертикальная асимптота осталась прежней — прямая $x=0$, а горизонтальная асимптота поднялась и стала прямой $y=3$. Правая ветвь (при $x>0$) лежит ниже уровня $3$, левая (при $x<0$) — выше него. Значения ровно $3$ график не принимает никогда: для этого понадобилось бы $\dfrac{1}{x}=0$, а такого не бывает.

Выколотая точка: при $x=-2$ формула дала бы $y=3-\dfrac{1}{-2}=3+0{,}5=3{,}5$. Но $x=-2$ запрещён, значит точка $(-2;\ 3{,}5)$ выколота (она на левой ветви).

Прямая $y=m$. Решим $3-\dfrac{1}{x}=m$, то есть $\dfrac{1}{x}=3-m$ и $x=\dfrac{1}{3-m}$. Такое $x$ существует при любом $m$, кроме $m=3$: на этом уровне уравнение решений не имеет — прямая совпадает с горизонтальной асимптотой.

Второй случай, когда общих точек нет, — это уровень выколотой точки, то есть $m=3{,}5$.

Итого прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек при $m=3$ и при $m=3{,}5$.