Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038687

Сначала область определения. Знаменатель $7x^{2}-5x=x(7x-5)$ не должен быть нулём, значит $x\neq 0$ и $7x-5\neq 0$, то есть $x\neq \dfrac{5}{7}$.

Теперь упростим: $$y=\dfrac{7x-5}{x(7x-5)}=\dfrac{1}{x},\qquad x\neq 0,\ x\neq \dfrac{5}{7}.$$

Строим график. Это обычная гипербола $y=\dfrac{1}{x}$: одна ветвь в первой четверти, вторая в третьей, асимптоты — оси координат. Но одна точка из неё удалена: при $x=\dfrac{5}{7}$ было бы $y=\dfrac{1}{5/7}=\dfrac{7}{5}=1{,}4$. Значит точка $\left(\dfrac{5}{7};\ 1{,}4\right)$ выколота — она находится на ветви в первой четверти.

Теперь прямая $y=kx$. Приравняем: $kx=\dfrac{1}{x}$, откуда $kx^{2}=1$, то есть $x^{2}=\dfrac{1}{k}$.

• При $k\leq 0$ решений нет: квадрат не может быть отрицательным (а при $k=0$ прямая $y=0$ — это ось $x$, которая гиперболе только асимптота).
• При $k>0$ получаем $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ — две точки, симметричные относительно начала координат: одна на ветви в первой четверти, вторая в третьей.

Значит ровно одна общая точка возможна только тогда, когда одна из этих двух точек выколота. Выколота у нас точка с $x=\dfrac{5}{7}$, поэтому подставим её: $$k=\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{1}{\left(\frac{5}{7}\right)^{2}}=\dfrac{49}{25}=1{,}96.$$

Проверим: при $k=1{,}96$ прямая должна пройти через точки с $x=\pm\dfrac{5}{7}$; правая выколота, а левая, с $x=-\dfrac{5}{7}$, остаётся. Значит общая точка ровно одна.