Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038686

Пользуемся тем, что $x^{2}=|x|^{2}$. Знаменатель раскладывается на множители: $$|x|-4x^{2}=|x|-4|x|^{2}=|x|\,(1-4|x|),$$ а числитель — та же скобка со знаком минус: $4|x|-1=-(1-4|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-4|x|)}{|x|\,(1-4|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Запреты: $x\neq 0$ и $1-4|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq 0{,}25$, значит $x\neq 0{,}25$ и $x\neq -0{,}25$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ получается $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Обе ветви симметричны относительно оси $y$ и лежат строго ниже оси $x$: около нуля уходят вниз, вдали прижимаются к оси, не касаясь её.

Выколотые точки: при $x=0{,}25$ было бы $y=-\dfrac{1}{0{,}25}=-4$, при $x=-0{,}25$ тоже $y=-4$. Значит выколоты точки $(0{,}25;-4)$ и $(-0{,}25;-4)$.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат.

• При $k=0$ это ось $x$; весь график ниже оси, поэтому общих точек нет.
• При $k\neq 0$ решаем $kx|x|=-1$. При $x>0$ получается $kx^{2}=-1$ — возможно лишь при $k<0$, решение одно; при $x<0$ получается $kx^{2}=1$ — возможно лишь при $k>0$, решение снова одно. Итого при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Значит общих точек нет, если это пересечение выколото. Через $(0{,}25;-4)$ прямая проходит при $k=\dfrac{-4}{0{,}25}=-16$, через $(-0{,}25;-4)$ — при $k=\dfrac{-4}{-0{,}25}=16$.

Итого прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=0$, $k=16$ и $k=-16$.