Гиперболы — Задание 22 ОГЭ по математике №00038685

Главный ход — заметить, что $x^{2}=|x|^{2}$. Тогда знаменатель раскладывается: $$|x|-x^{2}=|x|-|x|^{2}=|x|\,(1-|x|),$$ а числитель — та же скобка со знаком минус: $|x|-1=-(1-|x|)$.

Сокращаем: $$y=\dfrac{-(1-|x|)}{|x|\,(1-|x|)}=-\dfrac{1}{|x|}.$$ Запреты записываем до сокращения: $x\neq 0$ и $1-|x|\neq 0$, то есть $|x|\neq 1$, значит $x\neq 1$ и $x\neq -1$.

Строим $y=-\dfrac{1}{|x|}$. При $x>0$ это $y=-\dfrac{1}{x}$ — ветвь гиперболы в четвёртой четверти; при $x<0$ выходит $y=\dfrac{1}{x}$ — ветвь в третьей четверти. Ветви симметричны относительно оси $y$ и обе лежат строго ниже оси $x$: у нуля уходят вниз, вдали прижимаются к оси, не касаясь её.

Выколотые точки: при $x=1$ было бы $y=-\dfrac{1}{1}=-1$, при $x=-1$ тоже $y=-1$. Значит выколоты точки $(1;-1)$ и $(-1;-1)$.

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат.

• При $k=0$ это ось $x$; весь график лежит ниже оси, поэтому общих точек нет — значение подходит.
• При $k\neq 0$ приравняем: $kx=-\dfrac{1}{|x|}$, то есть $kx|x|=-1$. При $x>0$: $kx^{2}=-1$, возможно только при $k<0$, решение одно. При $x<0$: $kx^{2}=1$, возможно только при $k>0$, решение снова одно. Значит при любом $k\neq 0$ пересечение ровно одно.

Общих точек не будет, если это единственное пересечение выколото. Через $(1;-1)$ прямая проходит при $k=\dfrac{-1}{1}=-1$, а через $(-1;-1)$ — при $k=\dfrac{-1}{-1}=1$.

Итого прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k=0$, $k=1$ и $k=-1$.