Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038684

Область определения: знаменатель не должен быть нулём, поэтому $x+4\neq 0$, то есть $x\neq -4$.

Упрощаем дробь. В числителе вынесем $0{,}5x$: $$0{,}5x^{2}+2x=0{,}5x(x+4),$$ ведь $0{,}5\cdot 4=2$. Тогда $$y=\dfrac{0{,}5x(x+4)\cdot|x|}{x+4}=0{,}5x|x|,\qquad x\neq -4.$$

Раскроем модуль:

• при $x\geq 0$: $y=0{,}5x^{2}$ — правая половина параболы, ветвь вверх (например, $x=4$ даёт $y=8$);
• при $x<0$: $y=-0{,}5x^{2}$ — левая половина параболы, отражённой вниз (например, $x=-2$ даёт $y=-2$).

Половинки сходятся в начале координат, и получается одна возрастающая кривая, покрывающая все значения $y$ ровно по одному разу.

Выколотая точка: при $x=-4$ формула дала бы $y=0{,}5\cdot(-4)\cdot|-4|=0{,}5\cdot(-4)\cdot 4=-8$, но $x=-4$ запрещён. Значит точка $(-4;-8)$ на графике выколота.

Прямая $y=m$ при любом уровне даёт с такой кривой ровно одну общую точку. Ни одной общей точки не окажется только тогда, когда эта точка выколота, то есть при $m=-8$.