Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038683

Область определения: $x-1\neq 0$, то есть $x\neq 1$.

Упростим выражение. В числителе вынесем $x$: $x^{2}-x=x(x-1)$. Скобка $(x-1)$ сокращается со знаменателем: $$y=\dfrac{x(x-1)\cdot|x|}{x-1}=x|x|,\qquad x\neq 1.$$

Раскроем модуль, чтобы понять форму графика:

• при $x\geq 0$: $|x|=x$, значит $y=x^{2}$ — правая половина обычной параболы (например, $x=2$ даёт $y=4$);
• при $x<0$: $|x|=-x$, значит $y=-x^{2}$ — левая половина параболы, перевёрнутой вниз (например, $x=-2$ даёт $y=-4$).

Обе половинки сходятся в начале координат, и вместе выходит одна непрерывно возрастающая кривая, идущая из $-\infty$ в $+\infty$. Каждое значение $y$ она принимает ровно один раз.

Теперь дырка: при $x=1$ формула $x|x|$ дала бы $y=1\cdot 1=1$, но $x=1$ запрещён. Значит точка $(1;1)$ на графике выколота.

Горизонтальная прямая $y=m$ при любом уровне пересекала бы кривую ровно один раз. Ни одной общей точки не будет только тогда, когда это пересечение попадает в выколотую точку, то есть при $m=1$.